第十三讲 第一部分复习
本节是第一部分的复习课。主要讲了一些习题。
题1
令、、是空间内的非零向量，他们生成了一个向量空间，一个属于的子空间，那么这个子空间的维数是？
答：1、2或3。只有三个向量，且非零。
题2
有一个的行最简形矩阵，。
1）矩阵的零空间？
2）有的矩阵，的行最简形是？秩？
3）矩阵的行最简形？秩？
4）的维度？
答：
1），零空间只有零向量。
2）可以用上面的消去，因此是，秩为3。
3）
秩为6。
4）为矩阵，。
题3
已知，解为。
1）求行向量的生成空间的维数。
2）求A。
3）当为什么时，有解？
答：
1）可以推测出矩阵为矩阵，秩为1。零空间的维数是2。所以行空间的维数是秩，即1。
2）有特解，说明矩阵的第一列为；零空间包含向量，说明矩阵的最后一列均为0。再看，说明矩阵的第一列加上第二列是0，所以矩阵。
3）当在列空间中，方程有解。是的倍数。
题4
方阵的零空间只包含零向量，则的零空间？
答：也只包含零向量。
题5
由的矩阵组成了一个向量空间，取其中的可逆矩阵，是否构成子空间？
答：不是。零矩阵不可逆。
题6
，则，对？错？
答：错。。
题7
有个未知数个方程的方程组有解，当列向量线性无关时对任意右侧向量成立，对？错？
答：对。可逆。是一个解。
题8
设，
1）的零空间的基？
2）求的解。
答：
1）为矩阵，所以一定是的子空间。可逆。。
所以两个基是，。
2）通解是零空间的基，所以只需要找一个特解。注意到的第一列是，所以特解为。所以。
题9
如果，那么行空间等于列空间，对？错？
答：错。。需要对称。
题10
和是否有四个相同的子空间？
答：是。
题11
如果和的四大子空间相同，那么一定是的倍数？
答：错。如果，都是可逆矩阵，那么他们的行空间和列空间都是整个，零空间和左零空间都是0空间，而和都是任意可逆矩阵，不一定是的倍数 。
题12
如果互换的两行，的那些子空间不变？
答：行空间和零空间。
题13
如果是中的一行，那么为什么不能在的零空间里？即，不能同时存在于零空间和行空间。
答：如果是的一行，那么中必然有，所以肯定不在里。