UR3机器人运动学分析之正运动学分析

UR3机器人系列文章是我以及同学做的大作业，在此分享出来。本文正运动分析部分是我同学所做。

UR3工业机器人是一个6自由度的连杆机器人，其结构图如下图所示：

UR3机械臂尺寸图

下面对其进行正运动学和逆运动学分析。

1 正运动学分析

1.1 建立机器人连杆坐标系

UR3机器人属于连杆机器人，对于一个连杆机器人来说，可以用四个参数：连杆长度，连杆扭角，连杆距离，关节转角来描述。这四个参数即为连杆机器人的DH参数，在不同类型的连杆坐标系下，DH参数的含义有所不同。

连杆坐标系的建立有标准型DH法（SDH）建模和改进型DH法（MDH）建模两种方法，下面分别使用两种方法建立UR3机器人的连杆坐标系。

1.1.1 标准型DH法（SDH）建模

标准型DH法建模规则如下：

1. 找出各关节轴，并画出这些轴线的延长线；

2. 找轴：与轴线重合，轴为关节的运动轴；

3. 找轴：关节轴线相离时，在公垂线分析上定义轴，如果表示与之间的公垂线，则的方向沿；关节轴线平行时，选取前一关节的公垂线共线的一条公垂线作为轴；关节轴线相交时，的方向与两周的叉积方向相同。

根据此建模规则，有SDH建模示意图如图1.1所示：

图1.1 SDH建模示意图

使用SDH法建立UR3机器人的连杆坐标系如图1.2所示：

图1.2 UR3连杆坐标系（SDH）

在该坐标系下，各DH参数的含义为：

• ：关节轴线和关节轴线的公垂线长度；
• ：关节轴线和关节轴线的夹角，指向为从轴线到轴线；
• ：关节上的两条公垂线与之间的距离，沿关节轴测量；
• ：连杆相对于连杆绕轴线的旋转角度，绕关节轴线测量。

根据UR3机器人参数得到其DH参数如表1.1所示：

表1.1 SDH坐标系下的DH参数

连杆序号	连杆长度	连杆扭角	连杆距离	关节转角
1
2
3
4
5
6

1.1.2 改进型DH法（MDH）建模

改进型DH法建模规则如下：

1. 找原点：找出关节轴和之间的公垂线或关节轴和的交点，以关节轴和的交点或公垂线与关节轴的交点作为连杆坐标系的原点；

2. 找轴：轴沿关节轴的指向；

3. 找轴：轴沿公垂线的指向，若关节轴和相交，则规定垂直于关节轴和所在平面；

4. 确定轴：按照右手定则确定轴。

根据此建模规则，有MDH建模示意图如图1.3所示：

图1.3 MDH建模示意图

使用MDH法建立UR3机器人的连杆坐标系如图1.4所示：

图1.4 UR3连杆坐标系（MDH）

其中各参数的含义如下：

• ：沿轴，从移动到的距离；

• ：沿轴，从旋转到的角度；

• ：沿轴，从移动到的距离；

• ：沿轴，从旋转到的角度；

根据UR3机器人参数得到其DH参数如表1.2所示：

表1.2 MDH坐标系下的DH参数

连杆序号	连杆长度	连杆扭角	连杆距离	关节转角
1
2
3
4
5
6

1.2 UR3机器人正运动学

根据所建立的坐标系，分别在SDH坐标系以及MDH坐标系下进行正运动学的建模。

1.2.1 SDH坐标系下的正运动学建模

根据SDH坐标系下的连杆关系，有:

将式(1)右边的四个变换展开可得：

式中。

为方便表示，定义如下简写：

根据表1.1中的DH参数以及式(2)可得各连杆得变换矩阵，将各连杆的变换矩阵相乘可得机械臂的变矩阵。

式(3)中各简式为：

为了验证模型的正确性，可将其中一个状态代入模型进行检验。对于图1.2中UR3机器人的形态，其对应的关节变量为，将其带入式(3)中，得到如下的转换矩阵：

其中

正好对应{0}系到{6}系的旋转矩阵，并且正好对应{0}系到{6}系平移向量，因此可以初步验证所建立的正运动学模型是正确的。

1.2.2 MDH坐标系下的正运动学建模

根据MDH坐标系下的连杆关系，有：

将式(4)右边的四个变换展开可得：

式中

根据表1.2中的DH参数以及式(5)可得各连杆得变换矩阵，将各连杆的变换矩阵相乘可得机械臂的变矩阵。

式(6)中各简式如下：

为了验证模型的正确性，可将其中一个状态代入模型进行检验。对于图1.4中UR3机器人的形态，其对应的关节变量为，将其带入式(6)中，得到如下的转换矩阵：

其中

正好对应{0}系到{6}系的旋转矩阵，并且正好对应{0}系到{6}系平移向量，因此可以初步验证所建立的正运动学模型是正确的。后文中将通过仿真来进一步验证模型的正确性。

由于在不同的坐标系下DH参数的含义有所不同，推导出来的正运动学模型也会有所差别。在后文的分析中，若无特别说明，将使用MDH坐标系下推导出来的正运动学模型。

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