【MIT-18.06-线性代数】第十一讲：矩阵空间、秩1矩阵、小世界图

第十一讲 矩阵空间、秩1矩阵、小世界图

矩阵空间可以看做新的向量空间，其内的“向量”实际上是矩阵，矩阵可以相加、进行数乘运算。 矩阵空间不关注乘法。

1 基和维数

的一组基是。一共 9 个，的维度为 9。

对称矩阵子空间的维数是什么？假设所有的对称矩阵组成了一个子空间，需要从矩阵中选 6 个矩阵，因为选定对角线上的 3 个元素，再加上对角线上方的 3 个元素，可以确定整个矩阵，所以的维数是6。

上三角矩阵子空间的维数是什么？6。

对角矩阵子空间，，。

2 交空间和和空间

对角矩阵子空间，，。

我们知道不一定是子空间，如果要根据和得到一个子空间，需要对并集进行补充，记这个稍微大一点的空间为（和空间）。如果构成子空间？任取中的一个元素加上中的一个元素即可，不是分开只取或中的矩阵。

我们可以得到一个什么样的空间？取一个对称矩阵加上一个上三角矩阵，可以得到所有的矩阵。

对于矩阵空间和，有以下维度关系：

。

3 秩 1 矩阵

，这个矩阵的行空间的一组基是第一行，零空间的一组基是第一列。

以得到所有的矩阵。

对于秩 1 矩阵，有：。

可以把矩阵写成一种更简洁的形式，第一列乘以第一行，即：

以得到所有的矩阵。

所有的秩 1 矩阵都可以写成一个列向量乘以一个行向量的形式，即。

秩 1 矩阵就像搭建其他矩阵的积木一样。如果有一个的矩阵，其秩为 4 ，如果把该矩阵分解为若干个秩 1 矩阵的组合，需要多少个秩 1 矩阵？只需要 4 个。

4 一个例子

在空间中，所有满足分量的向量构成空间。是一个子空间吗？

是一个子空间，比如任取一个，乘以一个数字 6，其结果仍在中。满足条件的和相加，其分量之和仍为 0，在中。

这个空间的维数和基是什么？维数是 3。是矩阵的零空间。所以其维数是 3。

下面继续看矩阵。

其行空间是一维的，即行向量任意倍数组成的空间。

其零空间是三维的，零空间的一组基是。

其列空间是一维的，是第一列的任意倍数。

其左零空间是零维的，因为不存在非零线性组合，使得的各列结果为 0。因此其左零空间只有零向量。这个最小子空间的基是空集。

5 小世界图

图是结点和边的集合，边连通各个结点。假设每个人是一个结点，两个人之间如果是朋友，那边两个结点之间就存在一条边，那么任意两个人之间的最大距离是多少？根据“六度分离猜想”，大概只需要六步，任意两个人就可以联系起来。这就是小世界图的由来。