【MIT-18.06-线性代数】第十讲：四个基本子空间

第十讲 四个基本子空间

1 定义

• 列空间

  记作，在空间中。

• 零空间

  记作，在空间中。

• 行空间

  的行的线性组合，也可以是的列空间，所以行空间记作。在空间中。

• 左零空间

  的零空间，记作，在空间中。

2 基和维数

• 列空间

  一组基是主列，维数是秩。

• 列空间

  一组基是的特解，维数是。

• 行空间

  行空间和列空间维数相同，维数也是秩。

  设矩阵，进行消元：
  
  化简后的列空间和的列空间不相等，，显然在中不在中。行变换不改变行空间，但是改变了列空间。

  行空间的一组基是行最简形的前行。

• 左零空间

  维数是。

  如果有，那么向量在的零空间中。对方程两边进行转置，有，表示一个行向量对进行左乘，这就是称之为左零空间的原因。

  如何求出左零空间的基？举例说明。

  通过高斯-若尔当法进行消元。。有，前面求可逆矩阵时，将会被化简成，是的逆矩阵。

  对于，可以求得，即：
  
  通过，我们不但可以得到左零空间的维数，还能求出整个左零空间。左零空间的维数。 左零空间是一维的，存在一个线性组合使的三个行向量的结果为零行，左零空间的基只有一个向量，就是的最后一行 。

3 新向量空间

新向量空间，叫作所有的矩阵，把矩阵看作向量，每个矩阵都是一个“向量”。的子空间包括：所有的上三角矩阵，所有的对称矩阵，所有的对角矩阵。