【MIT-18.06-线性代数】第四讲：矩阵的LU分解

第四讲 矩阵的LU分解

0 上一讲遗留内容

乘积的逆：

为什么顺序要颠倒，一个生动形象的类比是先脱鞋再脱袜子，其逆动作是先穿袜子再穿鞋。

乘积的转置：

转置的逆：

前面讲了高斯消元法，现在进一步考虑高斯消元法。通过高斯消元法，我们可以将转为，现在直接考虑。

1 矩阵的LU分解

1.1 2 阶方阵

有可逆矩阵：

使用消元矩阵，有，即：

从的角度，有：

U代表 upper triangular，上三角矩阵。

L代表 lower triangular，下三角矩阵。

有时候会把主元单独列出来，即：

记作。

D代表 diagonal，对角矩阵。

对于矩阵，和的区别不大，但是对于矩阵，和会有较大差别。

1.2 3 阶方阵

有矩阵，假设没有行交换。则有：

有：

则：

为什么用式(2)而不用式(1)表示？下面举一个典型的例子。

假设：

则为：

而为：

中矩阵相乘的顺序非常好，2 和 5 不会冲突，不会得到 10，这种顺序，消元乘数还在里，这是关键，要求出，不需要任何运算，只要将所有的消元乘数都写进来，就能得到。

对于，如果不存在行变换，消元乘数（即消元步骤中需要乘以并减去的那个倍数）可以直接写进中。

2 置换矩阵

当主元位置出现 0 时，需要进行行交换。置换矩阵可以用来进行行交换。

考虑情形，交换第一行和第二行的置换矩阵为：

情形的置换矩阵共有 6 种，情形的置换矩阵共有 24 种。置换矩阵具有良好的性质，比如：

• 它们两两相乘，结果仍在该矩阵群中。
• 它们的逆也在该矩阵群中。
• 置换矩阵的逆等于其转置。