【MIT-18.06-线性代数】第五讲：转置、置换、向量空间

第五讲 置换、转置和向量空间

1 置换矩阵

置换矩阵，是用来完成行互换的矩阵。

上一讲中矩阵的 LU 分解假设矩阵不需要行互换，如果取消这个假设，则将会变成。

该描述包含了存在行变换的消元，为置换矩阵，它将各行互换为正确的顺序，互换后主元位置不会再出现 0 的情况（此时为任意可逆矩阵）。

置换矩阵，是行重新排列的矩阵，置换矩阵的个数为个。

2 转置

转置为行列元素互换，行变成列，列变成行，用符号描述为：

3 对称矩阵

对称矩阵即转置后矩阵不发生变化的矩阵，即。

如矩阵。

对于任意矩阵，永远是对称矩阵。比如：

有：

证明如下：

4 向量空间及其子空间

4.1 向量空间

向量空间表示一系列向量，但并不是任意向量的组合都能称为空间，空间必须满足一定的规则，必须能够进行加法和数乘运算，且空间对加法和数乘运算封闭，即对空间中任意向量进行加法和数乘运算后的结果仍在该空间中。

比如空间，是所有二维实向量组成的空间，其为一个平面。

• 向量空间必须包含零向量。
• 向量空间对加法和数乘运算封闭，或者说对线性组合封闭。

4.2 子空间

如果一个向量空间存在于另一个向量空间内，就称为一个子空间。

的向量子空间：

• 本身
• 穿过原点的直线
• 只包含零向量

的向量子空间：

• 本身
• 穿过原点的平面
• 穿过原点的直线
• 只包含零向量

4.3 列空间

假设矩阵：

其各列属于空间，其各列的线性组合构成一个的子空间，称为列空间，记作。换句话说，表示由列向量和所张成的平面。