【MIT-18.06-线性代数】第六讲：列空间和零空间

第六讲 列空间和零空间

1 向量空间回顾

什么是向量空间？简单来说就是一些向量，其对加法和数乘运算封闭。

假设现在是三维空间，最简单的向量空间是三维空间本身，任取两个向量，不管是加法还是数乘，结果还在三维空间中。

下面看子空间，所谓子空间就是向量空间中的一些向量，它们属于母空间，同时自身又构成向量空间，即子空间是向量空间中的向量空间。

以为例，最简单的子空间就是一个平面，平面必须通过原点，同时延伸至无穷远。平面任意向量的加法和数乘运算仍在平面内。同样一条过原点的直线也是的子空间。

一个包含原点的平面和一个包含原点的直线（不在上）都是的子空间。

那么，包含和的所有向量，这个集合不是子空间，因为其对加法不封闭。而只包含零向量，是子空间。

如果如果不是特定直线和平面，推广到任意两子空间的交。假设有子空间和，则仍是子空间。假设任取交集中的两个向量和，因为和都在中，所以也在中。同理，也在中，所以属于。

2 列空间

矩阵：

其中的列空间是的子空间，记作，由所有列的线性组合而来。

下面考虑线性方程组。对于任意的右侧向量，该方程组是否都有解？或者是什么样的右侧向量，使得方程组有解。

对于第一个问题，方程组不总是有解，因为三个列向量张成的空间并没有充满整个空间，所以存在不是矩阵列向量的线性组合。

当为零向量、列向量 Col1、Col2、Col3······时，方程组有解，因此对于第二个问题，当是中各列的线性组合，或者说在的列空间中时，方程组有解。

考虑中三个列向量，它们三个是否线性无关（后面的概念），即是不是可以去掉某一列，可以得到同样的列空间？

我们可以去掉第三列仍得到同样的列空间，因为第三列等于前两列之和， 是前两列的线性组合。

3 零空间

矩阵：

的零空间不包含右侧向量，它包含，包含的所有解。对于本例，包含三个分量，所以零空间是的子空间。

对于矩阵，列空间是的子空间，零空间是的子空间。

不管矩阵是什么，零空间必然包含零向量。

对于该例的子空间，其子空间可以用来描述，是中一条过原点的直线。

检验的解构成子空间。

如果和，则。

• 的所有解是否构成向量空间？

  不构成，因为零向量不是方程组的解，而向量空间必须包含零向量。

• 的所有解是怎样的？

  其是一条不过原点的直线。

构造子空间的两种方法：

• 从几个向量，通过线性组合得到子空间（列空间）
• 从方程组中，让满足特定条件得到子空间（零空间）