【MIT-18.06-线性代数】第七讲：求解Ax=0、主元、特解

第七讲 求解、主元、特解

1 阶梯形式

矩阵：

对矩阵进行消元，需要注意消元过程中，方程的解不会改变，零空间不会改变：

最终得到了阶梯形式（echelon form），即非零元素（主元）以一种阶梯形式出现.

矩阵的第三行为 0，意味着第三行是其余行的线性组合。

本例中，主元数量为 2，该数字即为矩阵的秩。

矩阵的秩为其非零主元的数量。

此时的解变成了的解，但解得值和零空间不变。

下面进行回代，首先确定主列和自由列。

主列即主元所在的列，这里第一列和第三列是主列，其对应的变量为主变量，即和是主变量。

自由列即不是主列的列，其对应的变量为自由变量，即和为自由变量。“自由”表示可以自由或任意分配数值给这些未知数，即第二列和第四列的乘数是任意的，和可以任意取，然后我们求解和即可。

将写成方程组的形式：

我们取，。可以得到，。

这样就可以得到零空间的一个向量，也就是的一个解。

如何找到更多的解？很简单，该解的任意倍数都是方程组的解，只需要乘以特定的倍数，表示四维空间中的一条直线。

直线在零空间中，但它是整个零空间吗？不是，自由变量有两个，可以任意取值。若取，。可以得到，，可得到零空间的另一个向量。

以上两个向量称为特解（特解也就是特定的解，特定在于给自由变量分配的特定值）。通过特解可以构造零空间，本例中零空间即为：

通过特解能构造出整个零空间。零空间所包含的正好是特解的线性组合。

对于矩阵，个变量，若其秩为，自由变量个数则为个，特解个数也为个。

对于求解，给出了一整套算法，如下：

算法步骤：

1. 消元，碰到无法取得主元的列，不管它，继续消元。得到主列和自由列，确定主变量和自由变量。
2. 给自由变量分配值，一般是令第一个自由变量为 1，其余为 0，然后令第二个自由变量为 1，其余为 0。

2 简化行阶梯形式（reduced row echelon form）

对于矩阵，将其主元所在列其余元素消去，并且主元化为 1。

对于本例有：

主行和主列交汇处存在单位阵。

现在开始回代，分别考虑主列和自由列：

假设方程已经是 rref 形式，有，这是典型的简化行阶梯形式。

求解的所有特解，构造零空间矩阵，记作，它的各列由特解组成，有。

可以得到。

其中，自由变量可以取为单位阵，跟上图可以对应起来。

3 一个例子

矩阵：

消元：

矩阵的秩为 2。只有一个自由列。

矩阵主列个数与其转置相同。

令自由变量为 1，回代，求得。零空间还有什么向量呢？乘以即可，整个零空间是一条直线，即。

下面继续求。

，有。

这里，。