【MIT-18.06-线性代数】第八讲：可解性和解的结构

第八讲 可解性和解的结构

1 可解性

有方程组：

如果方程组有解，、、需要满足，因为如果左侧各行的线性组合得到 0，则右侧常数的相同组合必然也等于 0。

开始消元（增广矩阵形式）：

现在第三个方程变为，这就是方程有解的条件，与前面的分析一致。

假设右侧向量，此时方程有解，代入可得。

可解性，即有解时右侧向量需满足的条件。

• 从列的角度，必须属于的列空间。
• 从行的角度，如果各行的线性组合得到零行，则中元素的相同组合也必须是零。

2 求的所有解

首先求一个特定的解，即特解。

可以将所有自由变量设为 0，然后求解出所有的主变量。对于本例，自由变量为和，令，，方程组化为：

回代得到，。所以特解。

其他的解如何求？答案是加上零空间中的任意。

将与相加，即可得到所有的解。

对于本例，的所有解为：

此处零空间是中的二维子空间，为不穿过原点、穿过特解的二维平面。

3 秩的讨论

假设矩阵为矩阵，即有行，列，其秩为，则有，。

满秩，即取最大的情况，此时有三种情况，分别对于和的取值。

3.1 列满秩

即。意味着每一列都有主元，都是主列，没有自由变量。此时零空间只有零向量。

这种情况下要么无解，如果有解则只有特解。

比如，其简化行阶梯形式（简称，行最简式）。只有两个无关的行，四个方程，两个未知数，不可能总有解。只有当右侧向量是中各列的线性组合时，方程组才有解，比如，对应特解。

3.2 行满秩

即，每一行都有主元，消元时不会出现全零行，因此对于任意右侧向量，该方程组都有解。

自由变量个数为，或者是。

例如，其行最简式，中各主列构成单位阵，剩余部分构成零空间中的特解。

3.3 满秩

即，此时矩阵为可逆方阵。其行最简式，零空间只包含零向量，并且一定有解，且解唯一。

矩阵的秩决定了方程组解的数目。

为主列在前的行最简式，下表总结了的解的情况。

				，
的解	唯一解	无解或唯一解	无穷多	无解或无穷多解