第九讲 线性相关性、基、维数
0 背景知识
对于矩阵，当时，未知数的个数大于方程的个数，则方程组存在非零解，的零空间除了零向量，还存在非零向量。
我们通过消元，化成阶梯形矩阵，由包含主元的主列和不包含主元的自由列组成（因为行数小于列数，肯定有不包含主元的自由列），所以一定存在个自由变量。
1 线性相关性
对于向量组，对于其线性组合，除了系数全为零之外，如果存在使得结果为零向量的组合，则该向量组线性相关，如果不存在结果为零向量的组合，则该向量组线性无关，即（除了）。
比如二维空间中有两个向量，即同向，显然他们是线性相关的，因为。
比如二维空间中两个向量。他们也是线性相关的，因为，可以取任意非零常数。
如果向量组里包含了一个零向量，那么向量组不可能线性无关。
对于如图所示的，除了零组合，任何的组合都无法得到零向量，所以他们是线性无关的。
但是如果加上第三个向量，他们是线性相关的。
有这样一个事实，在二维空间中， 任意取三个向量，他们肯定是线性相关的，因为他们肯定可以通过某种组合得到零向量。可以和前面的背景知识联系起来。假设二维空间任意取三个向量，构造矩阵。矩阵为矩阵，矩阵的秩肯定小于，所以一定有非零解，即可以找到的非零组合得到零向量。
假设为矩阵的各列，当的零空间只有零向量时，他们线性无关；如果的零空间除了零向量还有其他非零向量时，他们线性相关。
从秩的角度考虑，如果的各列线性无关，矩阵的秩为。如果，则其各列线性相关。
2 生成空间
生成一个空间，意味着这个空间包含这些向量的所有线性组合。比如矩阵的各列生成列空间。是包含这些向量的空间中最小的一个，因为任何包含这些向量的空间，必须包含向量组的所有线性组合，如果仅仅包含这些组合，就得到最小的一个空间。
可能是线性相关的，也可能是线性无关的，我们关心这样的向量组：既可以生成空间，本身又是线性无关的，这意味着向量组的个数必须满足一定条件，如果个数不足，则无法生成需要的空间，如果个数过多，可能会线性相关，由此引出“基”的概念。
3 基
向量空间的一组基是指一系列的向量，，这些向量具有两个特性，线性无关和生成空间。
例如空间的一组基是：。将其作为矩阵的各列，会得到单位阵。
当空间是时，有 3 个向量，矩阵为方阵，它需要满足什么条件，其列才能组成基？
中的个向量要构成基，以这个向量为列的矩阵必须是可逆矩阵。
4 维数
对于给定空间，空间中任意基都满足此性质，即基向量的个数相等，如果一组基有个向量，那么所有基都是个向量，数字表示此空间的大小，也就是生成此空间需要的基向量个数。其中的，称为空间的维数。
一个例子：空间，，其各列线性相关。列空间的一组基是第一列和第二列。矩阵的秩为2，。
零空间的一组基是，这是的两个特解。。